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M a t h S c i D o c : A n A r c h i v e f o r M a t h e m a t i c i a n s     M a t h S c i D o c : A n A r c h i v e f o r M a t h e m a t i c i a n ∫ H o m e M a t h e m a t i c s A l l A l g e b r a i c G e o m e t r y A r i t h m e t i c G e o m e t r y a n d C o m m u t a t i v e A l g e b r a C o m b i n a t o r i c s C o n v e x a n d D i s c r e t e G e o m e t r y D i f f e r e n t i a l G e o m e t r y F u n c t i o n a l A n a l y s i s G e o m e t r i c A n a l y s i s a n d G e o m e t r i c T o p o l o g y H i s t o r y a n d O v e r v i e w L o g i c M e t r i c G e o m e t r y N u m e r i c a l L i n e a r A l g e b r a P r o b a b i l i t y R i n g s a n d A l g e b r a s S t a t i s t i c s T h e o r y a n d M e t h o d s ， D a t a A n a l y s i s T h e o r e t i c a l P h y s i c s L e c t u r e N o t e s A l l A l g e b r a i c T o p o l o g y a n d G e n e r a l T o p o l o g y C a t e g o r y T h e o r y C o m p l e x V a r i a b l e s a n d C o m p l e x A n a l y s i s D a t a A n a l y s i s D y n a m i c a l S y s t e m s G e n e r a l M a t h e m a t i c s G e o m e t r i c M o d e l i n g a n d P r o c e s s i n g I n f o r m a t i o n T h e o r y M a c h i n e L e a r n i n g N u m b e r T h e o r y N u m e r i c a l c o m p a r i s o n s b a s e d o n f o u r s m o o t h i n g f u n c t i o n s f o r a b s o l u t e v a l u e e q u a t i o n Q u a n t u m A l g e b r a S p e c t r a l T h e o r y a n d O p e r a t o r A l g e b r a S y m p l e c t i c G e o m e t r y A l l P u b l i c a t i o n s o f C M S A o f H a r v a r d A l l A n a l y s i s o f P D E s C l a s s i c a l A n a l y s i s a n d O D E s C o m p u t a t i o n a l G e o m e t r y D a t a A n a l y s i s , B i o S t a t i s t i c s , B i o M a t h e m a t i c s F l u i d D y n a m i c s a n d S h o c k W a v e s G e n e r a l M e t h e m a t i c s G r o u p T h e o r y a n d L i e T h e o r y K T h e o r y a n d H o m o l o g y M a t h e m a t i c a l P h y s i c s N u m e r i c a l A n a l y s i s a n d S c i e n t i f i c C o m p u t i n g O p t i m i z a t i o n a n d C o n t r o l R e p r e s e n t a t i o n T h e o r y S t a t i s t i c s T h e o r y a n d M e t h o d s T B D A l l S . T . Y a u H i g h S c h o o l S c i e n c e A w a r d e d P a p e r s J o u r n a l A c t a M a t h e m a t i c a A r k i v f o r M a t e m a t i k C a l l F o r P a p e r s A w a r d e d P a p e r s V i d e o s   L o g I n S i g n U p H e l p G o I n t i t l e I n a u t h o r I n a f f i l i a t i o n I n k e y w o r d I n M a t h S c i D o c I D I n a l l a b o v e A d v a n c e d M o r e n e w s P r e v i o u s N e x t     N e w P a p e r s   M o r e . . .   [ 1 ] T h e s m a l l e s t d e g r e e s u m t h a t y i e l d s p o t e n t i a l l y $ K _ Z $ g r a p h i c a l S e q u e n c e s L a i C h u n h u i M i n n a n N o r m a l U n i v e r s i t y C o m b i n a t o r i c s m a t h s c i d o c : 2 4 0 2 . 0 6 0 0 5 A r s C o m b i n a t o r i a , 1 0 2 , 6 5 – 7 7 , 2 0 1 1 . 1 0 [ D o w n l o a d ] [ 2 0 2 4 0 2 1 2 1 6 : 0 5 : 1 8 u p l o a d e d b y L a i c h u n h u i ] [ 2 6 8 d o w n l o a d s ] [ 0 c o m m e n t s ] A b s t r a c t × L e t $ K _ H $ b e t h e g r a p h o b t a i n e d f r o m $ K _ $ b y r e m o v i n g t h e e d g e s s e t $ E ( H ) $ o f t h e g r a p h $ H $ ( $ H $ i s a s u b g r a p h o f $ K _ $ ) . W e u s e t h e s y m b o l $ Z _ 4 $ t o d e n o t e $ K _ 4 P _ 2 . $ A s e q u e n c e $ S $ i s p o t e n t i a l l y $ K _ H $ g r a p h i c a l i f i t h a s a r e a l i z a t i o n c o n t a i n i n g a $ K _ H $ a s a s u b g r a p h . L e t $ \ \ s i g m a ( K _ H , n ) $ d e n o t e t h e s m a l l e s t d e g r e e s u m s u c h t h a t e v e r y $ n $ t e r m g r a p h i c a l s e q u e n c e $ S $ w i t h $ \ \ s i g m a ( S ) \ \ g e q \ \ s i g m a ( K _ H , n ) $ i s p o t e n t i a l l y $ K _ H $ g r a p h i c a l . I n t h i s p a p e r , w e d e t e r m i n e t h e v a l u e s o f $ \ \ s i g m a ( K _ Z , n ) $ f o r $ n \ \ g e q 5 r + 1 9 , r + 1 \ \ g e q k \ \ g e q 5 , $ $ j \ \ g e q 5 $ w h e r e $ Z $ i s a g r a p h o n $ k $ v e r t i c e s a n d $ j $ e d g e s w h i c h c o n t a i n s a g r a p h $ Z _ 4 $ b u t n o t c o n t a i n s a c y c l e o n $ 4 $ v e r t i c e s . W e a l s o d e t e r m i n e t h e v a l u e s o f $ \ \ s i g m a ( K _ Z _ 4 , n ) $ , $ \ \ s i g m a ( K _ ( K _ 4 e ) , n ) $ , $ \ \ s i g m a ( K _ K _ 4 , n ) $ f o r $ n \ \ g e q 5 r + 1 6 , r \ \ g e q 4 $ . O K [ A b s t r a c t ] [ F u l l ] P l e a s e l o g i n f o r c o m m e n t !   [ 2 ] O n p o t e n t i a l l y $ K _ U $ g r a p h i c a l S e q u e n c e s L a i C h u n h u i M i n n a n N o r m a l U n i v e r s i t y Y a n G u i y i n g A c a d e m y o f M a t h e m a t i c s a n d S y s t e m s S c i e n c e C o m b i n a t o r i c s m a t h s c i d o c : 2 4 0 2 . 0 6 0 0 4 U t i l i t a s M a t h e m a t i c a , 8 0 , 2 3 3 2 4 4 , 2 0 0 9 . 1 1 [ D o w n l o a d ] [ 2 0 2 4 0 2 1 2 1 5 : 5 8 : 3 3 u p l o a d e d b y L a i c h u n h u i ] [ 2 4 0 d o w n l o a d s ] [ 0 c o m m e n t s ] A b s t r a c t × L e t $ K _ H $ b e t h e g r a p h o b t a i n e d f r o m $ K _ $ b y r e m o v i n g t h e e d g e s s e t $ E ( H ) $ o f t h e g r a p h $ H $ ( $ H $ i s a s u b g r a p h o f $ K _ $ ) . W e u s e t h e s y m b o l $ Z _ 4 $ t o d e n o t e $ K _ 4 P _ 2 . $ A s e q u e n c e $ S $ i s p o t e n t i a l l y $ K _ H $ g r a p h i c a l i f i t h a s a r e a l i z a t i o n c o n t a i n i n g a $ K _ H $ a s a s u b g r a p h . L e t $ \ \ s i g m a ( K _ H , n ) $ d e n o t e t h e s m a l l e s t d e g r e e s u m s u c h t h a t e v e r y $ n $ t e r m g r a p h i c a l s e q u e n c e $ S $ w i t h $ \ \ s i g m a ( S ) \ \ g e q \ \ s i g m a ( K _ H , n ) $ i s p o t e n t i a l l y $ K _ H $ g r a p h i c a l . I n t h i s p a p e r , w e d e t e r m i n e t h e v a l u e s o f $ \ \ s i g m a ( K _ U , n ) $ f o r $ n \ \ g e q 5 r + 1 8 , r + 1 \ \ g e q k \ \ g e q 7 , $ $ j \ \ g e q 6 $ w h e r e $ U $ i s a g r a p h o n $ k $ v e r t i c e s a n d $ j $ e d g e s w h i c h c o n t a i n s a g r a p h $ K _ 3 \ \ b i g c u p P _ 3 $ b u t n o t c o n t a i n s a c y c l e o n $ 4 $ v e r t i c e s a n d n o t c o n t a i n s $ Z _ 4 $ . O K [ A b s t r a c t ] [ F u l l ] P l e a s e l o g i n f o r c o m m e n t !   [ 3 ] A n E x t r e m a l P r o b l e m O n P o t e n t i a l l y $ K _ H $ g r a p h i c S e q u e n c e s L a i C h u n h u i M i n n a n N o r m a l U n i v e r s i t y H u L i l i M i n n a n N o r m a l U n i v e r s i t y C o m b i n a t o r i c s m a t h s c i d o c : 2 4 0 2 . 0 6 0 0 3 A r s C o m b i n a t o r i a , 9 4 , 2 8 9 2 9 8 , 2 0 1 0 . 1 [ D o w n l o a d ] [ 2 0 2 4 0 2 1 2 1 5 : 5 2 : 5 6 u p l o a d e d b y L a i c h u n h u i ] [ 2 3 5 d o w n l o a d s ] [ 0 c o m m e n t s ] A b s t r a c t × L e t $ K _ k $ , $ C _ k $ , $ T _ k $ , a n d $ P _ $ d e n o t e a c o m p l e t e g r a p h o n $ k $ v e r t i c e s , a c y c l e o n $ k $ v e r t i c e s , a t r e e o n $ k + 1 $ v e r t i c e s , a n d a p a t h o n $ k + 1 $ v e r t i c e s , r e s p e c t i v e l y . L e t $ K _ H $ b e t h e g r a p h o b t a i n e d f r o m $ K _ $ b y r e m o v i n g t h e e d g e s s e t $ E ( H ) $ o f t h e g r a p h $ H $ ( $ H $ i s a s u b g r a p h o f $ K _ $ ) . A s e q u e n c e $ S $ i s p o t e n t i a l l y $ K _ H $ g r a p h i c a l i f i t h a s a r e a l i z a t i o n c o n t a i n i n g a $ K _ H $ a s a s u b g r a p h . L e t $ \ \ s i g m a ( K _ H , n ) $ d e n o t e t h e s m a l l e s t d e g r e e s u m s u c h t h a t e v e r y $ n $ t e r m g r a p h i c a l s e q u e n c e $ S $ w i t h $ \ \ s i g m a ( S ) \ \ g e q \ \ s i g m a ( K _ H , n ) $ i s p o t e n t i a l l y $ K _ H $ g r a p h i c a l . I n t h i s p a p e r , w e d e t e r m i n e t h e v a l u e s o f $ \ \ s i g m a ( K _ H , n ) $ f o r $ n \ \ g e q 4 r + 1 0 , r \ \ g e q 3 , r + 1 \ \ g e q k \ \ g e q 4 $ w h e r e $ H $ i s a g r a p h o n $ k $ v e r t i c e s w h i c h c o n t a i n s a t r e e o n $ 4 $ v e r t i c e s b u t n o t c o n t a i n s a c y c l e o n $ 3 $ v e r t i c e s . W e a l s o d e t e r m i n e t h e v a l u e s o f $ \ \ s i g m a ( K _ P _ 2 , n ) $ f o r $ n \ \ g e q 4 r + 8 , r \ \ g e q 3 $ . O K [ A b s t r a c t ] [ F u l l ] P l e a s e l o g i n f o r c o m m e n t !   [ 4 ] A n o t e o n p o t e n t i a l l y $ K _ 4 e $ g r a p h i c a l s e q u e n c e s L a i C h u n h u i M i n n a n N o r m a l U n i v e r s i t y C o m b i n a t o r i c s m a t h s c i d o c : 2 4 0 2 . 0 6 0 0 2 A u s t r a l a s . J . C o m b i n . , 2 4 , 1 2 3 – 1 2 7 , 2 0 0 1 . 9 [ D o w n l o a d ] [ 2 0 2 4 0 2 1 0 1 1 : 1 9 : 1 9 u p l o a d e d b y L a i c h u n h u i ] [ 2 1 6 d o w n l o a d s ] [ 0 c o m m e n t s ] A b s t r a c t × A s e q u e n c e $ S $ i s p o t e n t i a l l y $ K _ 4 e $ g r a p h i c a l i f i t h a s a r e a l i z a t i o n c o n t a i n i n g a $ K _ 4 e $ a s a s u b g r a p h . L e t $ \ \ s i g m a ( K _ 4 e , n ) $ d e n o t e t h e s m a l l e s t d e g r e e s u m s u c h t h a t e v e r y $ n $ t e r m g r a p h i c a l s e q u e n c e $ S $ w i t h $ \ \ s i g m a ( S ) \ \ g e q \ \ s i g m a ( K _ 4 e , n ) $ i s p o t e n t i a l l y $ K _ 4 e $ g r a p h i c a l . G o u l d , J a c o b s o n , L e h e l r a i s e d t h e p r o b l e m o f d e t e r m i n i n g t h e v a l u e o f $ \ \ s i g m a ( K _ 4 e , n ) $ . I n t h i s p a p e r , w e p r o v e t h a t $ \ \ s i g m a ( K _ 4 e , n ) = 2 [ ( 3 n 1 ) / 2 ] $ f o r $ n \ \ g e q 7 $ a n d $ n = 4 , 5 $ , a n d $ \ \ s i g m a ( K _ 4 e , 6 ) = 2 0 $ . O K [ A b s t r a c t ] [ F u l l ] P l e a s e l o g i n f o r c o m m e n t !   [ 5 ] T h e s m a l l e s t d e g r e e s u m t h a t y i e l d s p o t e n t i a l l y $ C _ k $ g r a p h i c a l s e q u e n c e s L a i C h u n h u i M i n n a n N o r m a l U n i v e r s i t y C o m b i n a t o r i c s m a t h s c i d o c : 2 4 0 2 . 0 6 0 0 1 J . C o m b i n . M a t h . C o m b i n . C o m p u t . , 4 9 , 5 7 – 6 4 . , 2 0 0 4 . 5 [ D o w n l o a d ] [ 2 0 2 4 0 2 1 0 1 0 : 5 2 : 1 8 u p l o a d e d b y L a i c h u n h u i ] [ 2 2 1 d o w n l o a d s ] [ 0 c o m m e n t s ] A b s t r a c t × I n t h i s p a p e r w e c o n s i d e r a v a r i a t i o n o f t h e c l a s s i c a l T u r á n t y p e e x t r e m a l p r o b l e m s . L e t $ S $ b e a n $ n $ t e r m g r a p h i c a l s e q u e n c e , a n d $ \ \ s i g m a ( S ) $ b e t h e s u m o f t h e t e r m s i n $ S $ . L e t $ H $ b e a g r a p h . T h e p r o b l e m i s t o d e t e r m i n e t h e s m a l l e s t e v e n $ l $ s u c h t h a t a n y $ n $ t e r m g r a p h i c a l s e q u e n c e $ S $ h a v i n g $ \ \ s i g m a ( S ) \ \ g e q l $ h a s a r e a l i z a t i o n c o n t a i n i n g $ H $ a s a s u b g r a p h . D e n o t e t h i s v a l u e $ l $ b y $ \ \ s i g m a ( H , n ) $ . W e s h o w $ \ \ s i g m a ( C _ , n ) = m ( 2 n m 1 ) + 2 $ , f o r $ m \ \ g e q 3 $ , $ n \ \ g e q 3 m $ ; $ \ \ s i g m a ( C _ , n ) = m ( 2 n m 1 ) + 4 $ , f o r $ m \ \ g e q 3 $ , $ n \ \ g e q 5 m 2 $ . O K [ A b s t r a c t ] [ F u l l ] P l e a s e l o g i n f o r c o m m e n t !       M o s t D o w n l o a d e d P a p e r s M o r e . . .   [ 1 ] A N e w Q u a n t i t a t i v e A p p r o a c h t o T r e e A t t r i b u t e s E s t i m a t i o n B a s e d o n L i D A R P o i n t C l o u d s G u a n g p e n g F a n L i a n g l i a n g N a n F e i x i a n g C h e n Y a n q i D o n g Z h i m i n g W a n g H a o L i D a n y u C h e n G e o m e t r i c A n a l y s i s a n d G e o m e t r i c T o p o l o g y G e o m e t r i c M o d e l i n g a n d P r o c e s s i n g D a t a A n a l y s i s , B i o S t a t i s t i c s , B i o M a t h e m a t i c s m a t h s c i d o c : 2 1 0 6 . 1 5 0 0 4 R e m o t e S e n s i n g , 1 2 , ( 1 1 ) , 1 7 7 9 , 2 0 2 0 . 6 [ D o w n l o a d ] [ 2 0 2 1 0 6 2 1 1 5 : 2 3 : 2 7 u p l o a d e d b y l i a n g l i a n g n a n ] [ 1 9 4 7 1 d o w n l o a d s ] [ 0 c o m m e n t s ] A b s t r a c t × N o a b s t r a c t u p l o a d e d ! O K [ A b s t r a c t ] [ F u l l ] P l e a s e l o g i n f o r c o m m e n t !   [ 2 ] C a p a c i t a r y i n e q u a l i t i e s f o r f r a c t i o n a l i n t e g r a l s , w i t h a p p l i c a t i o n s t o p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a n d S o b o l e v m u l t i p l i e r s V l a d i m i r G M a z y a D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , L i n k ö p i n g U n i v e r s i t y I g o r E V e r b i t s k y D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , W a y n e S t a t e U n i v e r s i t y T B D m a t h s c i d o c : 1 7 0 1 . 3 3 2 8 2 9 A r k i v f o r M a t e m a t i k , 3 3 , ( 1 ) , 8 1 1 1 5 , 1 9 9 3 . 4 [ D o w n l o a d ] [ 2 0 1 7 0 1 0 8 2 0 : 3 5 : 4 5 u p l o a d e d b y a r k i v a d m i n ] [ 1 9 0 7 7 d o w n l o a d s ] [ 0 c o m m e n t s ] C i t a t i o n × O K [ C i t e d b y 4 1 ] A b s t r a c t × S o m e n e w c h a r a c t e r i z a t i o n s o f t h e c l a s s o f p o s i t i v e m e a s u r e s γ o n $ R $ ^ s u c h t h a t $ H $ _ ^ ∉ L _ ( γ ) a r e g i v e n w h e r e $ H $ _ ^ ( 1 O K [ A b s t r a c t ] [ F u l l ] P l e a s e l o g i n f o r c o m m e n t !   [ 3 ] U r b a n P a t t e r n : L a y o u t D e s i g n b y H i e r a r c h i c a l D o m a i n S p l i t t i n g Y o n g L i a n g Y a n g K A U S T J u n W a n g K A U S T E t i e n n e V o u g a C o l u m b i a U n i v e r s i t y P e t e r W o n k a K A U S T G e o m e t r i c M o d e l i n g a n d P r o c e s s i n g m a t h s c i d o c : 1 6 0 8 . 1 6 0 7 3 A C M T r a n s a c t i o n s o n G r a p h i c s , 3 2 , ( 6 ) , 1 8 1 : 1 1 8 1 : 1 2 , 2 0 1 3 . 1 2 [ D o w n l o a d ] [ 2 0 1 6 0 8 2 6 0 0 : 1 4 : 5 7 u p l o a d e d b y y y a n g ] [ 1 6 6 5 2 d o w n l o a d s ] [ 0 c o m m e n t s ] C i t a t i o n × 1 C h i h a n P e n g · Y o n g l i a n g Y a n g · P e t e r W o n k a . C o m p u t i n g l a y o u t s w i t h d e f o r m a b l e t e m p l a t e s . I n A C M T r a n s a c t i o n s o n G r a p h i c s . V o l u m e 3 3 . I s s u e 4 . 2 0 1 4 . 2 P e d r i n i s F , M o r e l M , G e s q u i e r e G , e t a l . C h a n g e D e t e c t i o n o f C i t i e s [ C ] . , 2 0 1 5 : 1 2 3 1 3 9 . 3 T e s o S , S e b a s t i a n i R , P a s s e r i n i A , e t a l . S t r u c t u r e d L e a r n i n g M o d u l o T h e o r i e s [ J ] . A r t i f i c i a l I n t e l l i g e n c e , 2 0 1 4 . 4 A l h a l a w a n i S , Y a n g Y , W o n k a P , e t a l . W h a t m a k e s L o n d o n w o r k l i k e L o n d o n [ J ] . s y m p o s i u m o n g e o m e t r y p r o c e s s i n g , 2 0 1 4 , 3 3 ( 5 ) : 1 5 7 1 6 5 . 5 V a x m a n A , C a m p e n M , D i a m a n t i O , e t a l . D i r e c t i o n a l F i e l d S y n t h e s i s , D e s i g n , a n d P r o c e s s i n g [ C ] . i n t e r n a t i o n a l c o n f e r e n c e o n c o m p u t e r g r a p h i c s a n d i n t e r a c t i v e t e c h n i q u e s , 2 0 1 6 . 6 F e n g T , Y u L , Y e u n g S , e t a l . C r o w d d r i v e n m i d s c a l e l a y o u t d e s i g n [ J ] . A C M T r a n s a c t i o n s o n G r a p h i c s , 2 0 1 6 , 3 5 ( 4 ) . 7 N i s h i d a G , G a r c i a d o r a d o I , A l i a g a D G , e t a l . E x a m p l e D r i v e n P r o c e d u r a l U r b a n R o a d s [ J ] . C o m p u t e r G r a p h i c s F o r u m , 2 0 1 5 . 8 Z h o u J , S u n Z , Y a n g K , e t a l . A c o n t r o l l a b l e s t i t c h l a y o u t s t r a t e g y f o r r a n d o m n e e d l e e m b r o i d e r y [ J ] . J o u r n a l o f Z h e j i a n g U n i v e r s i t y S c i e n c e C , 2 0 1 4 , 1 5 ( 9 ) : 7 2 9 7 4 3 . 9 V a x m a n A , C a m p e n M , D i a m a n t i O , e t a l . D i r e c t i o n a l F i e l d S y n t h e s i s , D e s i g n , a n d P r o c e s s i n g [ C ] . i n t e r n a t i o n a l c o n f e r e n c e o n c o m p u t e r g r a p h i c s a n d i n t e r a c t i v e t e c h n i q u e s , 2 0 1 6 . 1 0 C h i h a n P e n g · Y o n g l i a n g Y a n g · F a n B a o · D a n i e l F i n k · D o n g m i n g Y a n · P e t e r W o n k a · N i l o y J M i t r a . C o m p u t a t i o n a l n e t w o r k d e s i g n f r o m f u n c t i o n a l s p e c i f i c a t i o n s . I n A C M T r a n s a c t i o n s o n G r a p h i c s . V o l u m e 3 5 . I s s u e 4 . P a g e 1 3 1 . 2 0 1 6 . M o r e O K [ C i t e d b y 1 4 ] A b s t r a c t × W e p r e s e n t a f r a m e w o r k f o r g e n e r a t i n g s t r e e t n e t w o r k s a n d p a r c e l l a y o u t s . O u r g o a l i s t h e g e n e r a t i o n o f h i g h q u a l i t y l a y o u t s t h a t c a n b e u s e d f o r u r b a n p l a n n i n g a n d v i r t u a l e n v i r o n m e n t s . W e p r o p o s e a s o l u t i o n b a s e d o n h i e r a r c h i c a l d o m a i n s p l i t t i n g u s i n g t w o s p l i t t i n g t y p e s : s t r e a m l i n e b a s e d s p l i t t i n g , w h i c h s p l i t s a r e g i o n a l o n g o n e o r m u l t i p l e s t r e a m l i n e s o f a c r o s s f i e l d , a n d t e m p l a t e b a s e d s p l i t t i n g , w h i c h w a r p s p r e d e s i g n e d t e m p l a t e s t o a r e g i o n a n d u s e s t h e i n t e r i o r g e o m e t r y o f t h e t e m p l a t e a s t h e s p l i t t i n g l i n e s . W e c o m b i n e t h e s e t w o s p l i t t i n g a p p r o a c h e s i n t o a h i e r a r c h i c a l f r a m e w o r k , p r o v i d i n g a u t o m a t i c a n d i n t e r a c t i v e t o o l s t o e x p l o r e t h e d e s i g n s p a c e . O K [ A b s t r a c t ] [ F u l l ] P l e a s e l o g i n f o r c o m m e n t !   [ 4 ] T h e q u a n t i z a t i o n o f g r a v i t y C l a u s G e r h a r d t R u p r e c h t K a r l s U n i v e r s i t ä t , I n s t i t u t f ü r A n g e w a n d t e M a t h e m a t i k M a t h e m a t i c a l P h y s i c s m a t h s c i d o c : 1 6 0 9 . 2 2 0 0 8 A d v . T h e o r . M a t h . P h y s . , 2 2 , ( 3 ) , 7 0 9 7 5 7 , 2 0 1 8 . 1 0 [ D o w n l o a d ] [ 2 0 1 6 0 9 1 9 2 3 : 5 4 : 2 8 u p l o a d e d b y g e r h a r d t ] [ 1 5 9 5 4 d o w n l o a d s ] [ 0 c o m m e n t s ] A b s t r a c t × I n a f o r m e r p a p e r w e p r o p o s e d a m o d e l f o r t h e q u a n t i z a t i o n o f g r a v i t y b y w o r k i n g i n a b u n d l e $ E $ w h e r e w e r e a l i z e d t h e H a m i l t o n c o n s t r a i n t a s t h e W h e e l e r D e W i t t e q u a t i o n . H o w e v e r , t h e c o r r e s p o n d i n g o p e r a t o r o n l y a c t s i n t h e f i b e r s a n d n o t i n t h e b a s e s p a c e . T h e r e f o r e , w e n o w d i s c a r d t h e W h e e l e r D e W i t t e q u a t i o n a n d e x p r e s s t h e H a m i l t o n c o n s t r a i n t d i f f e r e n t l y , e i t h e r w i t h t h e h e l p o f t h e H a m i l t o n e q u a t i o n s o r b y e m p l o y i n g a g e o m e t r i c e v o l u t i o n e q u a t i o n . T h e r e a r e t w o p o s s i b l e m o d i f i c a t i o n s p o s s i b l e w h i c h b o t h a r e e q u i v a l e n t t o t h e H a m i l t o n c o n s t r a i n t a n d w h i c h l e a d t o t w o n e w m o d e l s . I n t h e f i r s t m o d e l w e o b t a i n a h y p e r b o l i c o p e r a t o r t h a t a c t s i n t h e f i b e r s a s w e l l a s i n t h e b a s e s p a c e a n d w e c a n c o n s t r u c t a s y m p l e c t i c v e c t o r s p a c e a n d a W e y l s y s t e m . I n t h e s e c o n d m o d e l t h e r e s u l t i n g e q u a t i o n i s a w a v e e q u a t i o n i n $ \ \ s o \ \ t i m e s ( 0 , \ \ i n f t y ) $ v a l i d i n p o i n t s $ ( x , t , \ \ x i ) $ i n $ E $ a n d w e l o o k f o r s o l u t i o n s f o r e a c h f i x e d $ \ \ x i $ . T h i s s e t o f e q u a t i o n s c o n t a i n s a s a s p e c i a l c a s e t h e e q u a t i o n o f a q u a n t i z e d c o s m o l o g i c a l F r i e d m a n u n i v e r s e w i t h o u t m a t t e r b u t w i t h a c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t , w h e n w e l o o k f o r s o l u t i o n s w h i c h o n l y d e p e n d o n $ t $ . M o r e o v e r , i n c a s e $ \ \ s o $ i s c o m p a c t w e p r o v e a s p e c t r a l r e s o l u t i o n o f t h e e q u a t i o n . O K [ A b s t r a c t ] [ F u l l ] P l e a s e l o g i n f o r c o m m e n t !   [ 5 ] P r o o f o f t h e a n g u l a r m o m e n t u m m a s s i n e q u a l i t y f o r a x i s y m m e t r i c b l a c k h o l e s S e r g i o D a i n U n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e C ´ o r d o b a D i f f e r e n t i a l G e o m e t r y m a t h s c i d o c : 1 6 0 9 . 1 0 0 6 3 J o u r n a l o f D i f f e r e n t i a l G e o m e t r y , 7 9 , ( 1 ) , 3 3 6 7 , 2 0 0 8 [ D o w n l o a d ] [ 2 0 1 6 0 9 0 9 1 1 : 0 4 : 2 9 u p l o a d e d b y a d m i n ] [ 1 4 6 1 0 d o w n l o a d s ] [ 0 c o m m e n t s ] C i t a t i o n × 1 M a r s M . P r e s e n t s t a t u s o f t h e P e n r o s e i n e q u a l i t y [ J ] . C l a s s i c a l a n d Q u a n t u m G r a v i t y , 2 0 0 9 , 2 6 ( 1 9 ) . 2 D a i n S . G e o m e t r i c i n e q u a l i t i e s f o r a x i a l l y s y m m e t r i c b l a c k h o l e s [ J ] . C l a s s i c a l a n d Q u a n t u m G r a v i t y , 2 0 1 1 , 2 9 ( 7 ) . 3 P i o t r T C h r u ś c i e l · J o a o L C o s t a . M a s s , a n g u l a r m o m e n t u m , a n d c h a r g e i n e q u a l i t i e s f o r a x i s y m m e t r i c i n i t i a l d a t a . 2 0 0 9 . 4 A c e n a A E , D a i n S , C l e m e n t M E , e t a l . H o r i z o n a r e a ― a n g u l a r m o m e n t u m i n e q u a l i t y f o r a c l a s s o f a x i a l l y s y m m e t r i c b l a c k h o l e s [ J ] . C l a s s i c a l a n d Q u a n t u m G r a v i t y , 2 0 1 1 , 2 8 ( 1 0 ) . 5 H u a n g L , S c h o e n R , W a n g M , e t a l . S p e c i f y i n g a n g u l a r m o m e n t u m a n d c e n t e r o f m a s s f o r v a c u u m i n i t i a l d a t a s e t s [ J ] . C o m m u n i c a t i o n s i n M a t h e m a t i c a l P h y s i c s , 2 0 1 0 , 3 0 6 ( 3 ) : 7 8 5 8 0 3 . 6 C o s t a J L . P r o o f o f a D a i n i n e q u a l i t y w i t h c h a r g e [ J ] . J o u r n a l o f P h y s i c s A , 2 0 1 0 , 4 3 ( 2 8 ) . 7 D a i n S , C l e m e n t M E . S m a l l d e f o r m a t i o n s o f e x t r e m e K e r r b l a c k h o l e i n i t i a l d a t a [ J ] . C l a s s i c a l a n d Q u a n t u m G r a v i t y , 2 0 1 1 , 2 8 ( 7 ) . 8 S c h o e n R , Z h o u X . C o n v e x i t y o f R e d u c e d E n e r g y a n d M a s s A n g u l a r M o m e n t u m I n e q u a l i t i e s [ J ] . A n n a l e s H e n r i P o i n c a r é , 2 0 1 2 , 1 4 ( 7 ) : 1 7 4 7 1 7 7 3 . 9 S e n o v i l l a J M , G a r f i n k l e D . T h e 1 9 6 5 P e n r o s e s i n g u l a r i t y t h e o r e m [ J ] . C l a s s i c a l a n d Q u a n t u m G r a v i t y , 2 0 1 4 , 3 2 ( 1 2 ) . 1 0 C o s t a J L . O n t h e c l a s s i f i c a t i o n o f s t a t i o n a r y e l e c t r o v a c u u m b l a c k h o l e s [ J ] . C l a s s i c a l a n d Q u a n t u m G r a v i t y , 2 0 1 0 , 2 7 ( 3 ) . M o r e O K [ C i t e d b y 3 5 ] A b s t r a c t × W e p r o v e t h a t a n e x t r e m e K e r r i n i t i a l d a t a s e t i s a u n i q u e a b s o l u t e m i n i m u m o f t h e t o t a l m a s s i n a ( p h y s i c a l l y r e l e v a n t ) c l a s s o f v a c u u m , m a x i m a l , a s y m p t o t i c a l l y f l a t , a x i s y m m e t r i c d a t a f o r E i n s t e i n e q u a t i o n s w i t h f i x e d a n g u l a r m o m e n t u m . T h e s e d a t a r e p r e s e n t n o n s t a t i o n a r y , a x i a l l y s y m m e t r i c b l a c k h o l e s . A s a c o n s e q u e n c e , w e o b t a i n t h a t a n y d a t a i n t h i s c l a s s s a t i s f y t h e i n e q u a l i t y √ J ≤ m , w h e r e m a n d J a r e t h e t o t a l m a s s a n d a n g u l a r m o m e n t u m o f s p a c e t i m e . O K [ A b s t r a c t ] [ F u l l ] P l e a s e l o g i n f o r c o m m e n t !       M a t h e m a t i c W o r d s T o d a y   P a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n I n m a t h e m a t i c s , a p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ( P D E ) i s a d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n t h a t c o n t a i n s u n k n o w n m u l t i v a r i a b l e f u n c t i o n s a n d t h e i r p a r t i a l d e r i v a t i v e s . ( A s p e c i a l c a s e a r e o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ( O D E s ) , w h i c h d e a l w i t h f u n c t i o n s o f a s i n g l e v a r i a b l e a n d t h e i r d e r i v a t i v e s . ) M o r e i n f o r m a t i o n   M a t h e m a t i c P e o p l e T o d a y   I s a a c N e w t o n S i r I s a a c N e w t o n P R S w a s a n E n g l i s h p h y s i c i s t a n d m a t h e m a t i c i a n ( d e s c r i b e d i n h i s o w n d a y a s a n a t u r a l p h i l o s o p h e r ) w h o i s w i d e l y r e c o g n i s e d a s o n e o f t h e m o s t i n f l u e n t i a l s c i e n t i s t s o f a l l t i m e a n d a s a k e y f i g u r e i n t h e s c i e n t i f i c r e v o l u t i o n . M o r e i n f o r m a t i o n   P o p u l a r L i n k s   C o n t a c t u s : o f f i c e i c c m @ t s i n g h u a . e d u . c n | C o p y r i g h t R e s e r v e d

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